信号处理

这是一篇面向开发和调试的算法文档。读完后你应该能回答三件事： 算法在算什么、为什么这么算、界面上每个元素对应公式里的哪个量。 全文用一个贯穿例子：一块 5×5 的受力区域，压力沿主对角线（左上—右下）分布，左上端更重。 1. 算法要做什么 阵列式压力传感器的数据就是一张二维表：每个格子一个力值。画成三维曲面（坐标做底面、力值做高度），哪里轻哪里重一目了然。 图 1：起点。 左：压力曲面沿对角线隆起、左上端更高；右：同一组数据的 2D 视图和每格数值。人眼能看出"不均匀"，算法要把这件事变成数字结论。 用户拿压头按传感器时，“按得不规范"有两种情况，物理上完全不同： 问题类型 表现 用户该怎么修 位置偏移 压头放歪了位置，但贴得是平的。压力分布形状正常，只是整体挪了位 照着箭头把压头挪过去 姿态歪斜 位置可能很正，但压头翘了边。翘起的一侧轻、压下的一侧重，分布形状被扭曲 停下来，检查贴合，重新放平 修法完全不同，所以算法输出两个相互独立的结论，各管一类： 位置通道：受力中心偏在哪 → 画面上画一个箭头； 扭转通道：压力沿哪条线失衡、哪侧重 → 画面上画一条双向轴线 + 偏重侧铺色。 后面所有设计都是围绕这两个通道展开的。第 2~3 节分别讲两个通道怎么算，第 4 节给出完整流程汇总，第 5 节讲界面怎么读，第 6 节讲能力边界和参数。 2. 位置通道：算受力中心（质心） 2.1 符号约定 后面所有公式共用这套记号： 受力区域（下称"斑块”）内的格子编号为 $i = 1, 2, \dots, n$； $V_i$：第 $i$ 格的力值（热力图上显示的那个数）； $p_i = (r_i, c_i)$：第 $i$ 格中心的坐标，$r$ 是行号（向下），$c$ 是列号（向右）； $\sum_i$：只对斑块内的 $n$ 个格子求和。 2.2 公式 把每格的力值当权重，对格子位置做加权平均，得到的点就是受力中心（质心）： ...

IIR 与 FIR 濾波器对音频相位的影响 先前我有写过一个简单的文章分析过两种滤波器对音频相位的影响，但是我只是知其然不知其所以然。对于音频，我虽然知道相位是一个很重要的概念，但是我始终不知道相位对实际音频的印象是什么水平的。这个问题在这些年的开发过程中始终萦绕在心头。虽然不做音频了，但是我仍然对这个问题保持好奇，综上，这也是为什么有了这个文章。 一、从一个问题开始 假设我们有一个 1kHz 的正弦信号，经过一个低通滤波器之后，输出还是 1kHz 的正弦信号，幅度变小了——这很好理解，滤波器嘛，该衰减的衰减。 但仔细看输出波形，会发现它相对于输入信号产生了一个时间上的延迟。这个延迟不是简单的"整体往后挪了 N 个采样点"，而是不同频率的信号延迟不一样。 1kHz 的信号延迟了 0.5ms，500Hz 的信号延迟了 0.8ms，2kHz 的信号延迟了 0.3ms——每个频率成分的延迟都不一样。 这就是相位失真。 对于音频处理来说，这个问题比听起来严重得多。人耳对相位差的感知不如幅度那么直接，但当不同频率成分的延迟差异大到一定程度时，会导致： 瞬态信号（比如鼓点、齿音）的波形被"模糊化" 立体声声像偏移 某些频段的"堆叠"或"空洞" 所以，理解滤波器的相位特性，是做音频处理的基本功。 先说结论，IIR 的相位响应受幅度响应约束（最小相位特性），无法独立控制；FIR 可以独立控制幅度和相位，因此能实现线性相位或任意指定相位。 但是至于为什么音频行业常用IIR滤波器，这个问题我将在补充后说明。 二、先回顾一下：FIR 和 IIR 是什么 FIR（有限脉冲响应） FIR 滤波器的差分方程： $$ y[n] = \sum_{k=0}^{M} b_k \, x[n-k] $$输出只依赖于当前和过去的输入，没有反馈。脉冲响应是有限长的（长度 M+1）。 IIR（无限脉冲响应） IIR 滤波器的差分方程： $$ y[n] = \sum_{k=0}^{M} b_k \, x[n-k] - \sum_{k=1}^{N} a_k \, y[n-k] $$输出同时依赖于输入和过去的输出（反馈）。脉冲响应理论上是无限长的。 两者的核心区别在于有没有反馈。这个结构上的差异，直接决定了它们的相位特性。 三、相位响应的推导 从频率响应说起 一个 LTI（线性时不变）系统的频率响应可以写成： ...

带噪信号的趋势分析方法 前言 手头有两组时域采样数据，每组大约240个采样点。采样周期固定，信号值在两千到四千之间游走。 肉眼扫过去——毛刺很多，高频抖动明显。但拉远了看，似乎底下藏着某种缓慢变化的结构。就像隔着一层磨砂玻璃看一幅画，大色块能辨认，细节却糊成一团。 DSP里降噪去扰的招数不少。卡尔曼、Holt-Winters、高斯平滑、巴特沃斯、Savitzky-Golay，各有各的路子。我想试试——把这套工具搬到这个信号上，看谁能把底下的轮廓挖出来，谁会被噪声带跑偏。 另外再拿两组最简单的滑动平均（SMA和EMA）当参考线，看看"简单粗暴"和"精心设计"之间到底差多少。 信号概览 先看一眼这两组信号的素颜： 特征 Signal A Signal B 值域 2,863 ~ 3,652 3,097 ~ 4,030 振幅(span) 789 933 采样点 242 243 逐点变化率 std 1.17% 1.53% 均值 3,174 3,575 Signal A的振幅比Signal B小，但逐点变化率的峰值很大——有过几次接近 ±5% 的跳变。整体走势像一条被反复折叠的绳子：先往下摔，弹回来，又摔一次，再弹。方向频繁切换。 Signal B的振幅更大，但方向很一致——从头到尾在往上走。中途有几次小幅回撤，但不改大方向。 这两组信号的差异，决定了后面每种方法的命运。 一、卡尔曼滤波——让状态方程替你猜 原理 卡尔曼不直接相信观测值，也不全信预测值。它在两者之间做加权，权重由各自的不确定性决定。 设一个状态向量 $x_k = [p_k, v_k]^T$，装着"当前位置"和"变化速度"。假设信号按匀速模型演化： $$ x_k = F x_{k-1} + w_k, \quad F = \begin{bmatrix}1 & \Delta t \\ 0 & 1\end{bmatrix} $$每来一个新的观测 $z_k$，先预测、再修正： ...