Wendland 紧支撑核的散点场重建方法

Wendland Functions（这篇笔记对 Wendland 核函数的数学构造有更完整的推导）

从散点到连续场

Wendland 并不是“力场重建”专用算法。它更像是一种通用工具：当你手里有一批离散采样点，想把它们变成一个连续场时，Wendland C2 紧支撑核可以作为一个很好的重建核。

问题可以抽象成这样：平面上有一组采样点

其中 $(x_i,y_i)$ 是采样位置，$v_i$ 是这个位置的观测值。我们想得到一个连续函数 $f(x,y)$，让它在没有传感器的位置也能给出合理估计。压力传感器数据只是这个问题的一个例子。换成温度站点、高程采样点、点云属性，甚至仿真里的 collocation points，本质都是“散点样本 → 连续场”。

这里有一个容易混淆的点：这件事到底是“重建”，还是只是“平滑”？我的理解是，平滑更像后期修图，它不关心背后有没有真实函数，只是让数据看起来更顺；重建则先假设背后确实存在一个连续函数，而采样点只是对它的离散观测。对于压力传感器来说，我们认为背后存在一个连续压力分布 $P(x,y)$，传感器只是采到了若干个 $P(x_i,y_i)$，所以目标是从这些离散值恢复连续压力分布的近似，而不只是让图变得柔和。

这也是为什么我更愿意把这个问题叫“散点场重建”。它不是某个物理量专属的问题，而是一类数据重建问题。

为什么会选到 Wendland

从散点构造连续场的方法很多。最朴素的是最近邻：每个位置直接拿最近采样点的值。这很诚实，但画出来会像马赛克。线性插值或三角插值更自然一些，不过它往往需要明确的拓扑结构，边界处理也麻烦。点高斯叠加看起来很直觉：每个采样点盖一个光斑，所有光斑相加。但它有一个致命问题——如果不归一化，采样点密集的地方会天然更亮。亮度来自采样密度，而不是来自真实场值。

KNN-IDW 往前走了一步：找附近 K 个点，按距离倒数加权平均。它已经是“插值”的思路了，但邻居集合会随着像素位置切换，梯度大的地方容易出现细小斑点。局部平面拟合能表达局部趋势，不过不同邻域拟合出的平面一切换，就容易出现片状接缝。全局 RBF 插值理论上更完整，但需要解线性方程组，计算成本会比较高。

所以这个场景真正需要的不是“最花哨”的方法，而是同时满足几个工程约束的方法。第一，它要归一化，否则采样点密度会污染颜色。第二，它要局部计算，否则输出图像一大，每个像素都遍历所有采样点就不现实。第三，它要视觉连续，不能有块状边界、凸包、片状拼缝。Wendland C2 恰好把这几件事放在一起：它是归一化加权平均；它是紧支撑核，超出半径就严格为零；它在支撑边界处 C² 连续，不容易产生拼缝；同时它还是正定 RBF，作为插值或近似核有数学基础。

也就是说，Wendland 不是因为“它专门适合压力场”才被选中，而是因为当前任务具备这些条件：散点采样、需要连续场、采样密度可能不均匀、要求实时、要求视觉上没有明显伪影。

从旧的高斯光斑到 Wendland 核

旧的点高斯方案很容易理解：在每个采样点位置盖一个高斯光斑，然后把所有光斑相加。

这里 $\text{value}_i$ 是第 $i$ 个采样点的值，$d_i$ 是像素到这个采样点的距离，$\sigma$ 控制光斑扩散范围。这个公式最大的问题就在求和符号上。两个采样点靠得近，光斑重叠区域就会叠得更亮。结果是：采样点密度越高的地方越亮，即便真实场值并没有更高。

Wendland 换了一个思路：不要把采样点当作“向外扩散的光源”，而是把它们当作连续场的离散采样。每个位置的值，应该由周围采样点做归一化加权平均得到。

使用的核函数是 Wendland C2：

其中

$d$ 是当前位置到采样点的距离，$R$ 是支撑半径。这个核的形状很直观：采样点中心处权重是 1，距离越远权重越小，到支撑半径边界时正好降到 0，边界外完全不参与计算。比如 $r=0.5$ 时，权重大约是 0.31，已经明显变弱。

实际重建时，用的是归一化加权平均，再乘一个边缘置信度：

前半部分解决采样密度影响亮度的问题；后半部分解决边缘覆盖不足的问题。如果一个位置附近传感器覆盖很弱，就让它自然淡出，而不是硬生生外扩。

以压力传感器数据为例，Wendland 重建出来的场会更像一张连续地形图，而不是一堆采样点的光斑叠加。

这个核函数从哪里来

Wendland 核来自 Holger Wendland 1995 年论文 Piecewise polynomial, positive definite and compactly supported radial functions of minimal degree。这篇论文的推导笔记可以在 Wendland Functions 看到。它关心的问题是：给定空间维度和光滑度，能不能构造一个紧支撑、正定、并且多项式次数尽可能低的径向基函数。

Wendland 函数族可以写成：

这里的 $d$ 表示目标空间维度。本文讨论的是二维平面场，所以取 $d=2$。$k$ 控制光滑度，$k=1$ 对应 C²。$\Gamma(k)$ 是 Gamma 函数，可以理解成阶乘的推广；当前 $k=1$，所以 $\Gamma(1)=1$，这个归一化因子不会额外改变公式。$P(t)$ 是为了保证正定性而出现的低次多项式，在当前特例中最终对应到 $4t+1$。

更适合手算理解的是递归定义：

当前特例可以从 $\psi_{2,0}(r)=(1-r)^2_+$ 出发。第一次积分是：

展开以后：

第二次积分之后，再把结果归一化到 $\varphi(0)=1$，就得到本文使用的核函数：

这个形式不是随便凑出来的。$(1-r)^4$ 让函数在边界处平滑归零，$(4r+1)$ 是积分过程中自然出现的低次多项式因子。最终它同时满足紧支撑、正定性和 C² 光滑。

工程上怎么跑得动

如果每个像素都遍历全部采样点，复杂度大约是：

图像分辨率一高，这个成本就很难接受。Wendland 的紧支撑正好能帮忙：每个采样点只影响半径 $R$ 内的区域，每个像素也只需要查附近的采样点。

实际实现时，可以先把采样点按空间位置放进桶里。计算某个像素时，只查它所在桶和周围相邻桶。这样，计算从“全局查询”变成“局部查询”，高分辨率场图也能实时渲染。

整个流程可以概括成几步：先把物理坐标映射到输出图像坐标；然后按采样点位置建立空间桶；对每个像素查找邻域采样点并计算 Wendland 权重；再做归一化加权平均；边缘覆盖不足时做置信度衰减；最后只用一个很轻的 Gaussian 做像素级去噪。

实际使用中主要有两个参数。query_radius_mm 控制单个采样点的影响范围；这个值越大，场越连贯，但细节也更容易被抹平。post_gaussian_sigma 只用于最后的像素级去噪，不负责生成主要形状。

压力传感器数据上的对比

为了看这个选择是否真的有意义，我把同一组压力传感器数据分别用几种方法重建了一遍。这个比对不是为了证明 Wendland 在所有场景下绝对最优，而是为了说明：在“需要归一化、实时、无拼缝”的压力传感器可视化场景里，它确实更稳。

最近邻最诚实，但块状最明显。每个像素直接取最近采样点的值，几乎不做插值，适合作为 debug 基准，但不适合最终展示。

点高斯叠加直觉简单，但密度伪影最明显。采样点密集区域会天然更亮，容易把“采样密度”误显示成“场值更高”。

KNN-IDW 已经做了归一化，所以比点高斯干净很多。但 KNN 集合会随着像素位置变化，压力梯度大的区域仍然可能出现细小斑点。

加权平面拟合能表达局部趋势，但不同邻域拟合出的平面发生切换时，容易出现片状接缝。

Wendland C2 的优势在于归一化、紧支撑、C² 连续同时成立。它没有点高斯的密度伪影，也没有加权平面那种明显拼接线。

为了量化伪影，我保留了一个指标表。最大值主要用来看叠加效应是否制造了不应有的高值；局部峰数量则反映画面有多碎。

点高斯的最大值明显偏高，说明叠加效应把采样密度错误地转成了亮度；加权平面局部峰数量很高，对应片状接缝；Wendland 的局部峰最少，说明它有效抑制了点状和片状伪影。

把五种方法放在一起看，差异会更直观：

局部放大后，点高斯的凸包、加权平面的接缝、Wendland 的自然过渡会更明显：