受力平衡分析：质心与扭转

这是一篇面向开发和调试的算法文档。读完后你应该能回答三件事： 算法在算什么、为什么这么算、界面上每个元素对应公式里的哪个量。

全文用一个贯穿例子：一块 5×5 的受力区域，压力沿主对角线（左上—右下）分布，左上端更重。

1. 算法要做什么

阵列式压力传感器的数据就是一张二维表：每个格子一个力值。画成三维曲面（坐标做底面、力值做高度），哪里轻哪里重一目了然。

图 1：起点。 左：压力曲面沿对角线隆起、左上端更高；右：同一组数据的 2D 视图和每格数值。人眼能看出"不均匀"，算法要把这件事变成数字结论。

用户拿压头按传感器时，“按得不规范"有两种情况，物理上完全不同：

修法完全不同，所以算法输出两个相互独立的结论，各管一类：

• 位置通道：受力中心偏在哪 → 画面上画一个箭头；
• 扭转通道：压力沿哪条线失衡、哪侧重 → 画面上画一条双向轴线 + 偏重侧铺色。

后面所有设计都是围绕这两个通道展开的。第 2~3 节分别讲两个通道怎么算，第 4 节给出完整流程汇总，第 5 节讲界面怎么读，第 6 节讲能力边界和参数。

2. 位置通道：算受力中心（质心）

2.1 符号约定

后面所有公式共用这套记号：

• 受力区域（下称"斑块”）内的格子编号为 $i = 1, 2, \dots, n$；
• $V_i$：第 $i$ 格的力值（热力图上显示的那个数）；
• $p_i = (r_i, c_i)$：第 $i$ 格中心的坐标，$r$ 是行号（向下），$c$ 是列号（向右）；
• $\sum_i$：只对斑块内的 $n$ 个格子求和。

2.2 公式

把每格的力值当权重，对格子位置做加权平均，得到的点就是受力中心（质心）：

受力重的格子会把这个点往自己那边拉。拿它和参考中心（压头的几何中心，或稳定接触区域的几何中心）一比，差值的方向就是界面上那个橙色箭头的方向。

2.3 为什么用它

质心对"整体挪动"是最可靠的度量：分布整体往哪挪，它一分不差地跟着往哪挪，而且和分布的形状无关。它也是最便宜的算法——一次遍历，O(N)。

但它有一个致命盲区，这正是下一节的主题。

3. 扭转通道：检测姿态歪斜

这一节是全文的主体。按推导顺序分五步：

1. 先看清楚质心为什么看不见歪斜（3.1）；
2. 排除另一个直觉方案——逐点梯度（3.2）；
3. 用二阶矩把歪斜"捞"出来（3.3）；
4. 扣掉斑块形状自身的底数（3.4）；
5. 拆出强度 λ 和方向（3.5、3.6）。

3.1 质心的盲区：对角失衡时它纹丝不动

取姿态歪斜里最典型的形态——对角翘曲：左上、右下两个角重，另外两个角轻。用最小的 2×2 斑块演示：

1+ε   1−ε        （左上角 = 右下角 = 1+ε）
1−ε   1+ε        （右上角 = 左下角 = 1−ε）

其中 1 是基准读数（均匀受压时每格都读 1），$\varepsilon$ 是失衡幅度：重的格比基准高 $\varepsilon$，轻的格低 $\varepsilon$。$\varepsilon$ 越大翘得越狠，$\varepsilon = 0$ 就是完全均匀。

问题出在：四个格子关于中心对称，重的和轻的两两对称，加权平均时互相抵消——不管 ε 多大，质心永远在正中心。

图 2：质心盲区的实测。 左：图 1 的倾斜数据，不均匀肉眼可见，但受力中心（圆点）相对几何中心（十字）只偏了 0.50 格；右：一组"纯扭转"数据（主对角重、反对角轻），肉眼同样歪，中心偏移精确为 0.00，而后面要算的失衡强度 λ 高达 0.136。

原因可以一句话说清：质心只回答"力整体偏向哪边"，而对角翘曲不是"偏向哪边"，是"沿某条线的两侧重新分配"——重侧更重、轻侧更轻，总量没变，中心自然不动。 这类形态绕中心转 180° 后图形不变，任何"把分布压成一个点"的统计量都对它无能为力。

图 3：质心的盲区与人眼的朝向响应。 上排：均匀受压、主对角翘曲、反对角翘曲、中心加重，四种完全不同的形态，受力中心全部落在正中——对质心来说它们是同一个输入。下排：把纯扭转数据喂给不同朝向的"脊探测器"，响应在 45° 和 135° 达到峰值，峰值幅度恰好等于失衡强度 λ。人眼一眼能看到的"沿对角线有一条脊"，本质上就是这种带方向的二阶信息——第 3.3 节的工具就是把它补给了程序。

3.2 为什么不用逐点梯度

既然质心是"全局平均"丢了细节，那反过来，逐格看压力曲面的梯度（每格的最陡上坡方向）行不行？不行，有三个硬伤：

图 4：梯度是局部量，扭转是全局形态。 (a) 对角翘曲的压力曲面是一条脊；(b) 纯扭转数据上每格的上坡方向——脊线两侧的箭头两两相向，加起来几乎归零；(c) 纯扭转的几何本质是马鞍面：整体旋转 180° 图形不变。

1. 方向互相抵消。 对角翘曲时，轻角的梯度指向重角、重角内部的梯度互相背离，逐格相加的矢量和恰好只正比于质心偏移——绕回了 3.1 的盲区。
2. 小网格上噪声致命。 阵列常常只有 5×5，一格噪声就能翻转局部差分的符号；压到量程顶的格子在差分眼里是一堵无限陡的悬崖。
3. 输出没法用。 用户要的是一句话结论，不是 25 支箭头。

结论：梯度和曲率是局部量，而"压头歪没歪"是全局问题。需要的是另一种全局量——对全场加权求和（噪声互相抵消），但不像质心那样把方向信息丢掉。这就是二阶矩。

3.3 二阶矩：把歪斜从盲区里捞出来

先算每格相对受力中心 $(\bar r, \bar c)$ 的偏移：

再用 $V_i$ 当权重，把"偏移量自己乘自己"做加权平均，拼成一个 2×2 的协方差矩阵 M：

（横线表示按 $V_i$ 加权平均。）三个元素各有分工：

• $m_{rr}$：压力沿行方向散得多开；
• $m_{cc}$：压力沿列方向散得多开；
• $m_{rc}$：行偏移和列偏移是否联动——它就是"对角结构"的探测器。

代回 3.1 的 2×2 例子验证（此时 $dr$、$dc$ 都是 $\pm 0.5$）：

• $m_{rr}$、$m_{cc}$：每格 $dr^2 = dc^2 = 0.25$，与权重无关，$\varepsilon$ 完全被消掉——这两个元素看不见对角翘曲；
• $m_{rc}$：对角格 $dr\,dc = +0.25$，反对角格 $dr\,dc = -0.25$：

质心丢掉的那个 $\varepsilon$，在交叉项 $m_{rc}$ 里被一比一地捡了回来：$\varepsilon$ 多大它就多大，$\varepsilon = 0$ 它就是 0。歪斜信号找到了。

3.4 扣掉形状的底数：基线 M₀ 与偏差张量 D

直接拿 M 判定会误报。设想一种情况：压力完美均匀（每格都是 1），但斑块本身是个 L 形。L 形沿长臂方向天然散得开，M 照样各向异性——M 里叠了两个来源：压力不均匀（要检测的）和斑块形状（必须扣除的）。

处理办法是实验设计里最朴素的思想——造一个对照组再相减。对照组就是零假设：“假设压力完全均匀，这个形状的二阶矩是多少？“具体做法：还是那 $n$ 个格子，把权重从 $V_i$ 换成等权（每格 $1/n$）再算一遍，得到 $M_0$，即纯由形状贡献的底数。然后：

• 分子 $M - M_0$：只留压力不均匀的净效应。均匀压力下无论斑块形状多不规则，分子严格为零——形状底数被彻底扣除；
• 分母 $\operatorname{tr}(M_0)$（$M_0$ 两对角元之和，即形状的总散布）：做归一化，让 D 无量纲、与传感器和压头尺寸无关，不同大小的斑块、不同设备之间可以直接比。

3.5 拆出强度：λ

D 仍是 2×2 对称矩阵，里面还混着两种性质不同的成分：

• 各向同性成分：压力整体向中心收拢、或向边缘摊开——只有松紧、没有方向，说不出"沿哪条线歪”；
• 有方向的成分：沿某条线的失衡——判定要用的就是它。

把两者拆开。取 D 的对角元差的一半和交叉元：

各向同性部分单独存为 $iso = \operatorname{tr}(D)/2$，剩下的方向部分拼成 $\begin{pmatrix} a & b \\ b & -a \end{pmatrix}$。失衡强度定义为：

λ 有三个好用的性质，所以它成为"报不报倾斜"的判据：

1. 无量纲纯数字——阈值可以跨设备统一（起步值 0.05，见第 6 节）；
2. 旋转不变——屏幕坐标系转 45°，$D_{rr}$ 和 $D_{rc}$ 会互相混，λ 不变；
3. 就是方向部分的特征值模长——数学上严格等于"有方向那一半成分"的大小。

（$iso$ 只作为诊断信息保留、不进提示，因为它翻译不成用户能执行的动作。）

图 5：减基线、归一化、分解，套到贯穿例子上。 左：虚线椭圆是等权基线 $M_0$（形状底数），实线椭圆是加权二阶矩 M（实际压力），两者之差就是压力不均匀的净效应；中：实算数值——M 的交叉项 +0.558 显著非零（正是 3.3 节 $m_{rc}=\varepsilon/4$ 的放大版），$M_0$ 的交叉项为 0（方形斑块自身没有对角倾向），相减归一后 D 的交叉项 = +0.139；右：分解结果——$|iso|=0.042$ 很小（整体松紧没变化），λ=0.139 远超 0.05 阈值，触发倾斜提示。

3.6 拆出方向：主轴 + 偏重侧

λ 只回答"有多歪”，还差两个信息：沿哪条线歪、哪一侧重。

沿哪条线——主轴。 方向部分矩阵的主特征向量有闭式解：

$v$ 是单位向量，指向失衡最强的方向。界面上那条紫色双向虚线就是它。

有一个数学事实必须讲清楚，因为它直接决定了界面形态：方向部分的两个特征值是 $+\lambda$ 和 $-\lambda$，沿 $+v$ 和 $-v$ 的异常强度相等。张量只能给出一根"轴"（一条线），给不出"指向"——“左上重右下轻"和"左下重右上轻"算出的是同一个 D。所以轴向在界面上画成双向虚线，这是数学事实，不是设计取舍。

哪侧重——半平面均值比较。 张量给不出指向，就回到原始数据直接对照：记 $g$ 为斑块的等权几何中心，算每格在主轴上的带符号投影

$t_i > 0$ 的格子在轴的一侧，$t_i < 0$ 的在另一侧，比较两侧每格均值 $\overline{V}_{+}$ 和 $\overline{V}_{-}$。注意用均值不用总和——两侧格子数经常不等，比总和的话格多的一侧几乎必然赢，那是比面积不是比压强。

图 6：主轴 + 两侧均值 → 倾斜提示。 左：紫色双向虚线是主失衡轴（本例恰为 45° 对角方向），铺色一侧每格均值 5.20、另一侧 2.60，差异显著——左上侧偏重；右：数值结论翻译成用户文案的全过程。画面上没有第二个箭头：轴向用双向虚线表达，偏重侧用铺色表达——“箭头代表动作，颜色和轴线代表问题”。

至此，扭转通道的三件输出凑齐了：λ（报不报）、轴向（哪条线）、偏重侧（哪侧重）。

4. 完整流程一页速查

每帧数据按下面的顺序走一遍（全程一次遍历 + 一个 2×2 闭式特征分解，O(N)，可实时）：

几个贯穿全文的对应关系，方便记忆：

• 位置偏移 ↔ 质心（一阶矩） ↔ 单头箭头；
• 姿态歪斜 ↔ 二阶矩的交叉结构 ↔ 双向轴线 + 铺色；
• 均匀压力 → D = 0、λ = 0，形状再怪也不误报（3.4 的对照思想保证了这一点）。

5. 界面怎么读

5.1 位置通道：重心坐标与箭头

图 7：位置通道。 画面三要素：白色十字（参考中心）、橙色圆点（受力中心）、橙色单头箭头。阅读顺序：先看箭头，再看数值，最后确认有没有倾斜提示。

三个容易读错的地方：

• 箭头只给方向，长度不代表该挪多远；
• 偏差数值用 cell 还是 mm，取决于有没有可靠的物理布局，没有就老老实实用 cell；
• 参考中心是算法选的参照点（优先级：已知压头几何中心 > 稳定帧接触掩码中心 > 高压力核心中心兜底），不是精密测出的压头机械中心——界面文案不能含糊；
• 画面上同时出现倾斜提示时，箭头作废：先把姿态修好，位置结论才有意义。

5.2 扭转通道：λ、轴向、铺色

图 8：扭转通道。 λ 只负责报不报（表盘上的阈值线），轴向负责哪条线，铺色负责哪侧重。

三层信息各回答一个问题：

• λ 报不报。 超过阈值（0.05 起步）才提示"可能压头倾斜”。界面上最多说"轻度/明显"，具体数值放详情面板。阈值只能实测校准，数学推不出来（见第 6 节）；
• 轴向说哪条线。 “沿左上—右下方向失衡”——方向信息的本体，永远输出；轴是双向的，这是数学事实不是文案取舍；
• 铺色说哪侧重。 只有两侧均值差异显著时才出现。三种文案形态——指认偏重侧 / 只说"沿该方向集中" / “方向不确定”——分别对应数据充分、方向明确但侧重不显著、数据退化三种结局。

图 9：一个箭头回答不了所有问题。 均匀分布和对角失衡都可能让受力中心落在正中；前者可以说"受力中心已对齐"，后者必须提示"可能压头倾斜"并用双向轴 + 方位词标出方向。不能画第二个箭头——箭头会被读成"往那边推"，而扭转不是推能修好的。

5.3 辅助显示：180° 对称差红蓝格

一侧整体偏重的形态，有一种更直观的显示办法：记 $V(p)$ 为位置 $p$ 的力值，$2g - p$ 是 $p$ 绕几何中心 $g$ 转 180° 后斜对面的格子，两格相减：

红格 = 比斜对面重，蓝格 = 比斜对面轻，灰 = 相同。直观到不需要解释。

但它有明确的职责边界：Δ 对"一侧偏重"敏感，对 180° 旋转对称的马鞍面（对角翘曲）恒为零——那种情况下 Δ 全灰、λ 却显著。所以分工是：判定永远交给 λ，Δ 只负责展示；反过来纯一侧偏重时 λ 很小（实测 0.013），由重心箭头负责。两个通道各守各的边界。

另外，形状不规则的斑块（L 形、带孔）必须沿真实格子边缘描边界；用外接矩形会把空洞和未受力区域圈进去，用户就看不到真实的接触范围。

图 10：真实边界与外接框的区别。

6. 能力边界与初始参数

6.1 它做不到的事

这些边界都是从推导里自然长出来的，不是免责声明：

• 它看的是这一次按压的力，不是传感器本身。传感器制造均不均匀、标定曲线该不该改，一概回答不了；
• 它不会说"第几格坏了"。单格读数异常可能是坏点，也可能只是噪声、接触边缘或压到量程顶；
• 它给不出压头的真实倾角。紫色轴说的是"压力沿哪条线失衡"，是统计方向，拿它反算倾角是过度解读；
• 压到量程顶的数据救不回来。能做的只是提示"读数可能不可靠"，不会拿外推数字装精确；
• 接触面积太小（不到 9 格）做不了扭转分析。此时只能报"受力中心已对齐（未检查倾斜）"——注意是"没查"，不是"查了没问题"。

一句话定位：这是一个针对当前 2D 接触数据的施力偏移与倾斜风险提示器。它能回答"压力中心偏向哪、先往哪边挪"，也能在箭头为零时发现"可能压歪了"；再多的做不到，也不该假装做到。

6.2 初始参数（首轮验证用，非物理标准）

尤其注意 λ 阈值 0.05：λ 是无量纲统计量，多大的 λ 对应真实翘曲只能靠实测标定。建议拿代表性压头，正常接触和故意偏压各测一组，按误报/漏报情况收敛。

附录：每个零件的学科出处

这套算法没有专名，因为它是各领域成熟工具的组合，没有原创部件。想深挖的读者按下表检索即可：