散点到 3D 曲面：力场重建工程算法

一、目标与边界

本文说明如何将三角网格表面的离散 Cell 采样值重建为连续、稳定且可实时渲染的 3D 曲面力场，覆盖算法输入、几何预处理、曲面距离、插值、颜色映射、缓存、渲染和验证。

算法解决以下工程问题：

  1. STL 三角面重复顶点导致表面拓扑断裂。
  2. 三维欧氏距离会穿过薄壁、折角或独立零件传播数值。
  3. 离散 Cell 数值需要连续插值，但不能因邻近 Cell 数量增加而产生虚假峰值。
  4. 覆盖边缘需要自然回落到模型基底颜色，不能出现硬截断。
  5. 几何计算与实时帧更新必须分离，以满足连续数据刷新需求。

算法输入包括三角网格、Cell 位置与法线、当前帧采样值、显示范围和重建参数；输出为与渲染顶点一一对应的颜色数组。

图 1：从三角网格、离散 Cell 到连续曲面力场的模型定义

1.1 算法全景流程

图 1-1：3D 曲面力场重建算法全景流程

二、曲面采样模型

2.1 曲面距离问题

目标曲面具有曲率、折角、正反面和多个独立零件，不能把它视为平面或无拓扑关系的三维点集。

核心问题是：两个点在三维空间里看起来很近，是否意味着它们沿模型表面也很近？

2.2 Cell 语义：离散采样，不是独立力源

Cell 表示连续真实力场的离散采样点。

  • 重建值表达附近采样值的加权平均，不把多个 Cell 的数值简单相加。
  • 若四个相邻 Cell 都是 0.6，中间位置也应接近 0.6，不能仅因为附近有四个点就变成 2.4。

以下 12 个采样点用于说明算法在圆柱曲面上的输入形式：

图 2：圆柱曲面上的 12 个 Cell 采样点布局

点z / mmθ / °x / mmy / mm归一化压力
S1-6-70-5.63837.9480.18
S20-70-5.63837.9480.32
S36-70-5.63837.9480.46
S4-6-25-2.53634.5620.42
S50-25-2.53634.5620.82
S66-25-2.53634.5620.68
S7-6252.53634.5620.55
S80252.53634.5621.00
S96252.53634.5620.76
S10-6705.63837.9480.28
S110705.63837.9480.48
S126705.63837.9480.36

三、Wendland C2 与归一化插值

3.1 紧支撑核

算法使用 Wendland C2 作为紧支撑权重函数：

$$ \phi(r)= \begin{cases} (1-r)^4(4r+1),&0\le r<1\\ 0,&r\ge1 \end{cases} $$

其中 $r = d / R$，$d$ 是顶点到 Cell 的表面路径代价，$R$ 是支撑半径。

性质：中心权重 1，C² 光滑，支撑半径外严格归零。

图 3：Wendland C2 紧支撑核及其权重变化

3.2 为什么三维欧氏距离不够

欧氏距离 $d_E = \lVert \mathbf{x} - \mathbf{x}_i \rVert_2$ 只看空间直线。对圆柱面来说，它量的是弦长，而真实表面传播至少要走圆弧：

$$ d_E = 2R_c\sin\frac{|\Delta\theta|}{2},\qquad d_S = R_c|\Delta\theta| $$

除两点重合外，总有 $d_E \le d_S$。空间直线系统性低估表面传播距离，导致：

  • Wendland 权重偏大，影响范围偏宽
  • 薄壁正面 Cell 穿过实体影响背面
  • 两个空间接近的独立零件互相串色

图 4：三维欧氏距离与曲面路径距离带来的权重差异

3.3 Coverage 与有效值

归一化加权平均单独使用时有一个问题：只要某处还有一个非常小的非零权重，插值结果仍可能接近那个采样值。若直接着色，覆盖边缘会像被硬切断一样。

因此引入覆盖置信度：

$$ \begin{aligned} I(v) &= \frac{\sum_i y_i w_i(v)}{\sum_i w_i(v)}, \\ C(v) &= \operatorname{clamp}\!\left(\sum_i w_i(v), 0, 1\right), \\ E(v) &= y_{\min} + \left(I(v) - y_{\min}\right)C(v). \end{aligned} $$

注意：coverage 已进入标量 $E(v)$，颜色阶段不得再次执行“灰色与热色的 RGB 混合”，否则会重复衰减并造成颜色阶跃。

3.4 最终重建结果

图 4-1：3D 曲面力场重建算法全景流程

四、曲面路径：三角网格上的实现

4.1 顶点焊接

STL 按三角面重复保存顶点。同一几何位置在文件中可能出现多次，相邻三角形在图结构里会彼此断开。

焊接容差随模型包围盒对角线缩放：

$$ \tau_{\mathrm{weld}} = \max\!\left(D\,\operatorname{clamp}\!\left(\rho_{\mathrm{weld}}, 10^{-9}, 10^{-4}\right), 10^{-7}\right), $$

其中 $D$ 为模型包围盒对角线长度，$\rho_{\mathrm{weld}}$ 为焊接容差比例。

使用空间哈希键查询同桶及相邻桶，只合并距离在容差内的顶点。

4.2 邻接图与折角代价

每个三角形的三条边形成无向图边。对于共享边，折角代价为：

$$ \begin{aligned} \theta &= \arccos\!\left(\operatorname{clamp}\!\left(\left|\mathbf{n}_0 \cdot \mathbf{n}_1\right|, 0, 1\right)\right), \\ \operatorname{cost} &= \operatorname{edgeLength}\left(1 + \operatorname{foldPenalty}\left(\frac{\theta}{\pi}\right)^2\right). \end{aligned} $$

foldPenalty 默认 2.0。使用 abs(dot) 避免法线翻转造成假折角。边界边只用 edgeLength。非流形边取相邻面的最大折角代价。

4.3 Cell 附着与截断 Dijkstra

  1. 计算 Cell 中心到每个三角形的最近点与距离。
  2. 最近距离选最近三角形；距离相同时优先匹配法线。
  3. 从最近点到三个焊接顶点的距离作为 Dijkstra 初始代价。
  4. 只扩展累计代价不超过模型支撑半径，即 $d \le R_{\mathrm{model}}$ 的顶点。

不同连通分量之间严格禁止传播。薄壁正背面只能沿表面边界绕行，不走空间捷径。

图 5：网格展开后的连通分量与跨表面传播隔离

4.4 通用三角网格流程

任意三角网格均执行同一流程：清理退化面、焊接重复顶点、建立共享边邻接、计算连通分量、附着 Cell、运行半径截断的 Dijkstra，最后生成稀疏影响缓存。算法不要求模型具有规则参数化，也不要求 Cell 按行列排列。

五、缓存架构与性能

5.1 CSR 缓存

几何缓存和实时数值严格分离：

offsets[weldedVertexCount + 1]
sample_indices[influenceCount]
weights[influenceCount]
covered_welded_vertices[]
缓存层构建时机频率
表面图（焊接+邻接+连通分量）模型/Cell/半径变化低频（用户操作）
影响缓存（CSR）表面图变更后低频
颜色缓存（展开顶点 RGB）帧值/图例范围变化高频（实时刷新）

实时着色时只需遍历覆盖顶点，乘以当前帧值即可，无需重复运行 Dijkstra。

5.2 性能指标

代表性输入规模为 1656 个三角形、31 个 Cell 和 814 个焊接顶点：

指标值
初次缓存构建~5.5 ms
单帧颜色更新（20 帧平均）~0.02 ms
覆盖顶点比例4118/4968 (82.9%)

六、颜色映射与渲染输出

6.1 灰底色表

从模型灰连续过渡到高饱和热色，6 个色标 RGB 线性插值生成 256 项色表：

位置RGB语义
0.00140, 140, 148模型灰（无覆盖/零值基线）
0.1232, 76, 180深蓝
0.350, 190, 220青
0.60245, 220, 55黄
0.80245, 125, 35橙
1.00220, 35, 35红

模型着色和图例共用 CreatePhysical3DColorTable()，保证像素级一致。

6.2 渲染输出

重建开启时，算法输出每顶点 RGB，写入 field VBO 并由 per-vertex shader 完成三角面内插值。重建关闭时，不计算连续场，只按 Cell 当前值生成离散着色。

图 6：离散采样值在 3D 曲面上的连续重建结果

  • 光照系数：$0.65 + 0.35\max(\mathbf{N}\cdot\mathbf{L}, 0)$，保持立体感。
  • 低值阈值：$\rho_{\mathrm{low}} = 0.02$，低于阈值保持模型灰。

6.3 数据流

图 7：几何缓存、实时插值与渲染更新的工程流程

图 8：几何缓存、实时插值与渲染更新的数据流时序

七、关键设计决策

  1. Cell 语义：离散采样点，使用归一化插值，不做加性叠加。
  2. 距离度量：使用曲面最短路径和折角代价，不使用三维欧氏距离传播力值。
  3. 色带：3D 专用连续灰底色表，模型和图例共用同一函数。
  4. 缓存策略：几何/数值分离，CSR 只随几何变化重建，帧值变化仅更新颜色。
  5. 重建开关：控制是否输出 Wendland 连续场，关闭时只输出离散 Cell 着色。
  6. 低值处理：低于 2% 阈值保持模型灰，不让黑色覆盖模型。
  7. coverage 使用：乘入有效标量后颜色阶段不再做第二次 RGB 混合。
  8. 不做无约束平滑：连续性由表面路径 + Wendland + coverage + 三角内插值共同保证。

八、算法约束

  • 输入三角网格必须包含有效顶点和非退化三角面。
  • Cell 必须具有位置；法线用于附着候选的方向一致性判断。
  • 不引入有限元、材料参数、应力或接触力学模型。
  • 不跨网格连通分量传播采样值。
  • 不使用无约束后置平滑跨越曲面边界。
  • 插值结果不得制造超过有效邻域采样值域的虚假峰值。
  • 重建半径、焊接容差和折角代价必须按模型尺度设置。

九、算法验证

算法验证按功能主题组织：

测试主题测试数说明
表面图（焊接、Dijkstra、折角）~15几何正确性、连通分量隔离
重建器（CSR、插值、coverage）~15数值语义、边界条件、缓存生命周期
色表~8256 项、色标端点、颜色连续性
渲染状态~8重建开关、颜色更新、模型矩阵
端到端重建5网格加载、缓存构建、插值、着色和缓存复用

验证重点不是界面或其他业务模块，而是以下算法性质：

  1. 等值采样不会因采样点数量增加而产生无依据增益。
  2. 非等值采样的结果保持在有效邻域值域内。
  3. coverage 在支撑边界连续回落，不形成硬边。
  4. 薄壁正反面和不同连通分量之间不会串色。
  5. 折角会增加路径代价并减弱跨折角传播。
  6. 帧值和显示范围变化只更新颜色，不重建几何缓存。
  7. 模型表面和图例使用同一色表，颜色映射保持一致。

十、工程结论

该算法通过“焊接拓扑、曲面最短路径、Wendland C2、coverage、灰底色带和 CSR 缓存”构成完整闭环。几何阶段负责建立真实曲面传播关系，实时阶段只执行稀疏加权和颜色更新，从而同时满足曲面隔离、数值稳定、边缘连续和实时渲染要求。